Economico-matematice, denumite modele, teoria cât şi în practica economică. primul rând prin mulţimea de activităţi {A1, A2, ... R2, ... dintre acestea. de componente (a1j, a2j, ... activităţii Aj). eficienţei fiecărei activităţi. = c1×x1 + c2×x2 + ... de obiectivul urmărit. = 1,...,n} ale fiecărui tip de produs. din fiecare resursă. un loc. amestecului optim de produse petroliere. m3 = m. din fiecare benzină Di, i = 1,...,n. care îndeplinesc restricţiile 1.2 şi 1.3. O astfel de problemă se numeşte problemă de programare matematică. obiectiv a problemei de optimizare. numesc restricţii ale problemei de optimizare. "direct" variabilelor, depind de natura problemei studiate. negative. desemnează mărimi indivizibile şi deci nu pot lua decât valori întregi. şi nenegative. …,xn) cu toate componentele 0 sau 1. mulţimea vectorilor care îndeplinesc condiţiile P1. înregistrate în matematică. capabile să testeze eficienţa practică a metodelor teoretice elaborate. particularităţilor cazului respectiv. îmbunătăţirea acestora decât spre găsirea unora noi. funcţii liniare atunci problema se numeşte problemă de programare liniară. forme diferite iar obiectivul poate fi minimizarea sau maximizarea funcţiei f. algoritm şi simplu şi aplicabil la toate cazurile. 2. în general inegalităţi şi foarte rar egalităţi. 3. Propoziţie. Demonstraţie. echivalente şi între soluţiile lor optime există o bijecţie. coeficientul variabilei j din ecuaţia i. fost făcută din raţiuni de uşurinţă a calculelor şi a memorării acestora. restricţii. soluţie. Este evident că şi acest caz este la fel de neinteresant ca primul. bazei) şi vectorul variabilelor secundare (notat cu xS). Orice alegere a lui xS dă o soluţie. bazei B. Deci xB este xB = B-1×b la care se adaugă n-m zerouri. dimensiune m = bază) îi corespunde o unică soluţie de bază. soluţie optimă care este de bază se va numi soluţie optimă de bază. mult m componente diferite de 0. dimensiuni. Sistemul A×x = b nu are soluţii sau nu are soluţii admisibile. mulţimea soluţiilor admisibile este nemărginită (la +¥ într-o problemă de maxim sau la -¥ într-o problemă de minim). mulţimea soluţiilor admisibile este mărginită. dorit al funcţiei f. puternică a locului în care căutăm. Teorema 1. Teorema 2. Teorema 3. trecerea către o problemă rezolvabilă pe calculator. unică soluţie de bază rezultă că sunt cel mult soluţii de bază, adică un număr finit. pe cea care dă minimul sau maximul funcţiei printre acestea. punct de vedere economic, este evident nemulţitor. fie rezolvată în timp util, adică repede. în jur de 1020. care ar termina un miliard de baze pe secundă, rezolvarea ar dura 3000 ani. "serioase" ce au peste 1000 de variabile şi 100 de restricţii. fapt un algoritm ideal. şi h). Acest algoritm a fost dat de G.B. Dantzig, în 1947, care la numit algoritmul simplex. a), f) şi g). poate ajunge la o soluţie care a mai fost, fenomen numit ciclare. B6 = (a4,a2,a3) ... şi valoarea funcţiei 0, dar nu îndeplinesc condiţia de optim. manual, ea fiind prea mare. ani. care algoritmul să devină în timp polinomial. lui Karmakar, despre care s-a demonstrat că lucrează în timp polinomial. tabelul cu efecte foarte mari. căruia să clacheze. complet. soluţie admisibilă de bază xB, corespunzătoare unei baze B. există evident o altă soluţie de bază admisibilă mai bună. principală xi (1£ i £ m) cu variabila secundară xj (m+1 £ j £ m). în funcţie de variabila xi şi de celelalte variabile secundare. ¹ 0). componentele soluţiei de bază actuale şi componentele coloanei j. schimbarea unei variabile din bază asupra sistemului. vedem efectul ei şi asupra funcţiei obiectiv. unui Dj < 0. oarecare iar celelalte sunt 0. £ 0 şi, deci, soluţia va fi admisibilă. componentă aij strict pozitivă. aplicat. diferă de fosta soluţie printr-o singură variabilă. cu 0 atunci soluţia actuală este cea optimă. din B-1×A sunt mai mici sau egale cu 0. a coloanei aj strict pozitivă. bază optimă. convexe ale acestora. toate soluţiile optime de bază. negativ: Dk = . (cei minimi). pozitive, pentru acestea se calculează rapoartele qs = . corespunzătoare raportului minim este cea care va ieşi din bază. minimul este strict pozitiv. minimul este 0. deci soluţia este degenerată şi noua soluţie este la fel de bună. ciclarea. tabelele simplex, se va afla inversa bazei corespunzător fiecăruia. şi alegem minimul dintre aceste rapoarte. doua din B-1 şi aşa mai departe, până minimul rămâne unic. cu regula dreptunghiului (inclusiv soluţia de bază, D şi f(xB)). poziţia de calculat şi pivotul pe diagonală. diagonală totul împărţit la pivot". este admisibilă. corespunde variabilei x1 şi aceasta este cea care va ieşi din bază. deoarece toţi Dj ³ 0. pornire, o soluţie admisibilă de bază. această căutare putând dura foarte mult. chiar vectorul termenilor liberi. corespunzătoare lui 1 din acel vector, cu coeficientul 1. şi repetăm procedeul pornind de la a doua ecuaţie. unul dintre toţi fiind diferit de 0. termenul liber sunt 0. se epuizează toate ecuaţiile. dorită. vitezei de lucru. introducem în ecuaţiile corespunzătoare câte o variabilă cu coeficientul 1. între soluţiile acestuia şi cel iniţial. pentru primul doar dacă y = 0. în care y = 0. toate egale cu 0, vom încerca să scoatem din bază variabilele y. uneia sau alteia din variabile din bază. strictly pozitiv. minimul funcţiei g este 0. apare în rezolvarea problemei). problema are optim infinit. soluţia de bază avem cel puţin o variabilă din vectorul y. soluţia de bază nu avem nici o variabilă din vectorul y. simplex. pentru algoritmul simplex aplicat problemei iniţiale în a doua fază. cu 30. bază. o bază iniţială dual admisibilă. bază. de de o bază dual admisibilă. mai negative (xi = ) este cea care iese din bază. numărului a). dintre aceştia la întâmplare. tabel. Forma secundară este tocmai o astfel de alternativă. sau dual admisibilă. corespunzător lui x5. problemei iniţiale şi putem elimina variabila x5. mai mic decât numărul variabilelor principale. reoptimizare) iar tabelul corespunzător formei secundare doar cu o linie. date. din datele tabelului simplex. cu 0 soluţia curentă este optimă. cu 0 problema are optim infinit. 6. Se reia algoritmul de la pasul 2. corespunzătoare variabilelor x3 şi x5 de unde rezultă xB = şi π = (0,-M)×I2 = (0,-M). intra în locul variabilei x5. intra în locul variabilei x2. intra în locul variabilei x3. intra în locul variabilei x1. Iteraţia 5.
Structuri teoretice din programarea liniară aplicate atribuirii
Problema poate fi formulată ca o problemă de programare liniară sau ca o problemă de optimizare combinată prin variabile binare în cazul atribuirii discrete. Sistemul A×x = b, restricţii şi funcţia obiectiv f(X) conduc la soluţii admisibile care pot fi optimizate prin metode precum simplex sau metode duale. În premieră, soluţia optimă de bază este unică în condiţii normale, dar viteza de calcul poate fi influenţată de dimensiunea bazei şi de ciclare. Transformările în faze, inclusiv faza duală, pot elimina variabilele neutilizate şi pot accelera convergenţa.
Algoritmi relevanți
- Algoritmul simplex original, introdus de G.B. Dantzig în 1947, folosit pentru a găsi soluția optimă a problemelor de programare liniară prin pivotări între baze.
- Probleme cu ciclare: pot apărea bucle; pentru a le evita se folosesc reguli de intrare/ieșire sau metode de regularizare a pivotului.
- Algoritmi polinomiali în timp: analiza asupra lucrului în timp polynomial a unor variante, cum ar fi rezultatele lui Karmakar.
- Transformări între forma primală și duală și reutilizarea tabelelor simplex pentru reoptimizare în situații dinamice.
Condiții de optim și soluții de bază
O soluţie admisibilă de bază xB este asociată cu o bază B; dacă există o soluţie de bază optimă, aceasta poate fi identificată prin raporturi şi pivotare în cadrul tabelei simplex. Dacă coeficienţii Dj ≥ 0 pentru toate j, soluţia curentă este optimă. În caz contrar, selectăm variabila care iese din bază în funcţie de raportul minim şi continuăm procesul. Nealinierea cu condiţia de optim poate genera degenerare şi ciclare: în astfel de situaţii, regimul de pivotare trebuie să verifice dacă noua soluţie este diferită de cea anterioară.
Lucrarea cu sistemul A×x=b poate implica atât variabile de principiu (xB), cât şi variabile secundare (xS). Orice alegere a lui xS dă o soluţie, în timp ce xB determină soluţia de bază. Problema poate necesita utilizarea unei baze iniţiale dual admisibilă pentru a iniţia faza de optimizare duală şi a reface tabelele în orientarea spre soluţia optimă.
Indicii practice pentru aplicarea în economie
În practică, în special în mixuri ale produselor petrolifere sau în alocarea resurselor, scopul este minimizarea costurilor totale sau maximizarea profitului, cu respectarea restricţiilor de disponibilitate a resurselor şi de cerinţe tehnologice. Modelele de atribuire și programarea liniară oferă o bază formală pentru decizii, iar simulările și testele pe date reale pot valida eficienţa metodelor teoretice.
Algoritmul Simplex - Programare Liniară - Algoritmi Partea 15
În concluzie, problema atribuirii prin matrice de costuri poate fi abordată cu modele economico-matematice, folosind tehnici de programare liniară și tablouri de operații pentru a identifica soluţia optimă cu baze minime şi pivotări corecte, evitând ciclările inutile şi accelerând procesul decizional în practică.
tags: #optimizare #problema #atribuirii #sarcinilor
Postări populare:
- Diagnosticul prenatal: recomandări esențiale și teste recomandate în timpul sarcinii
- Analiza ADN pentru paternitate
- Idei creative pentru picturi pe perete în camera copiilor
- Ce presupune ecografia morfologică în sarcină în Suceava
- Metotrexatul în sarcina ectopică: efecte secundare și recomandări de gestionare